Himpunan

H I M P U N A N

Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan sebagai himpunan. Pada bab ini akan dibahas tentang definisi dan keanggotaan suatu himpunan, operasi himpunan dari beberapa jenis himpunan.

1 Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan

Himpunan (set) merupakan sekumpulan objek-objek yang berbeda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Objek di dalam himpunan dinamakan unsur atau anggota himpunan. Keanggotaan suatu himpunan dinyatakan oleh notasi ’∈’.

Contoh  :

A = {x, y, z}

x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A.

w ∉ A : w bukan merupakan anggota himpunan A.

Ada beberapa cara dalam menyatakan himpunan, yaitu :

a. Mencacahkan anggotanya (enumerasi)

Dengan cara ini, himpunan tersebut dinyatakan dengan menyebutkan semua

anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal.

Contoh  :

- Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A = {1, 3, 5, 7}.

- Himpunan lima bilangan prima pertama: B = {2, 3, 5, 7, 11}.

- Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50 : C = {1, 2, ..., 50}

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

b. Menggunakan simbol standar (baku)

Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu simbol standar (baku) yang telah

diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah).

Contoh  :

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

K = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal (semesta pembicaraan) dinotasikan dengan U.

Contoh  :

MisalkanU = {1, 2, 3, 4, 5}

dan A = {1, 3, 5} merupakan himpunan bagian dari U

c. Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat)

keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut :

{ x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh  :

(i) A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10

A = { x | x ≤ 10 dan x ∈ N } atau A = { x ∈ N | x ≤ 10 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit}

Atau

M = { x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit}

d. Menggunakan Diagram Venn

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam

suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn.

Contoh  :

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

Jumlah unsur dalam suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari himpunan tersebut. Misalkan, untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan notasi:

n(A) atau ⎢A ⎢

 Contoh  :

(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 10 },

atau B = {2, 3, 5, 7 } maka lBl = 4

(ii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka lAl = 3

Jika suatu himpunan tidak mempunyai anggota, dengan kata lain dengan kardinalitas himpunan tersebut sama dengan nol maka himpunan tersebut dinamakan himpunan kosong (null set). Notasi dari suatu himpunan kosong adalah : ∅ atau {}

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A merupakan suatu himpunan yang unsur-unsurnya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan oleh P(A). Jumlah anggota (kardinal) dari suatu himpunan kuasa bergantung pada kardinal himpunan asal. Misalkan, kardinalitas himpunan A adalah m, maka P(A) = 2^m.

Contoh :

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(∅) = {∅}, sementara itu himpunan kuasa dari himpunan {∅} adalah P({∅}) = {∅, {∅}}.

Pernyataan A ⊆ B digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

Dua buah himpunan dikatakan sama jika memenuhi kondisi berikut :

A = B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur B dan sebaliknya setiap unsur B merupakan unsur A.

Untuk menyatakan A = B, yang perlu dibuktikan adalah A adalah himpunan bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.

atau  A = B 􀃙 A ⊆ B dan B ⊆ A

2 Operasi Himpunan

Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup.

a. Irisan (intersection)

Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka

A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Contoh  :

1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12},

maka A ∩ B = {3}

2. Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI UPY dan B merupakan

himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas)

maka A ∩ B = ∅.

Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B.

b. Gabungan (union)

Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka

A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Contoh  :

(i) Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}

(ii) A ∪ ∅ = A

c. Komplemen (complement)

Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan

universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A

merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari

himpunan A dinotasikan oleh :

A͑ = { x | x ∈ U dan x ∉ A }

Jika dinyatakan dalam b entuk diagram Venn adalah :

Contoh :

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A ^c = {2, 4, 5, 6, 8}

jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua /2,4,6,8}, maka A^c= { 1, 3, 5, 7, 9 }

d. Selisih (difference)

Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh

A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B͑

Contoh  :

Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 ,10}

dan B – A = ∅

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan

oleh :

A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)

= (A – B) ∪ (B – A)

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :Notasi:

Contoh :

Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 },

maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)

(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B

dinotasikan oleh :

A × B = {(a, b) ⏐ a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh  :

(i) Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka

C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

A × B = himpunan semua titik di bidang datar

Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:

lA × Bl = lAl . lBl.

Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). Dengan

argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu

A × B ≠ B × A

dimana A atau B bukan himpunan kosong.

Jika A = ∅ atau B = ∅, maka

A × B = B × A = ∅

Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut :

1. Hukum identitas:

− A ∪ ∅ = A

− A ∩ U = A

2. Hukum null/dominasi:

− A ∩ ∅ = ∅

− A ∪ U = U

3. Hukum komplemen:

− A ∪ A͑ = U

− A ∩ A͑ = ∅

4. Hukum idempoten:

− A ∪ A = A

− A ∩ A = A

5. Hukum involusi:

  (A)= A

6. Hukum penyerapan (absorpsi):

− A ∪ (A ∩ B) = A

− A ∩ (A ∪ B) = A

7. Hukum komutatif:

− A͑ ∪ B͑ = B ∪ A

− A͑ ∩ B͑ = B ∩ A

8. Hukum asosiatif:

− A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

− A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

9. Hukum distributif:

− A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

− A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

10. Hukum De Morgan:

− B∩ A= B∪ A

− B∪ A= B∩ A

11. Hukum komplemen

− ∅ = U

- U͑ = ∅

Diolah dari berbagai sumber